受講するための資格制限はありません。
労働安全衛生法第59条第3項で定めるとおり「事業者は、危険又は有害な業務で、厚生労働省令で定めるものに労働者をつかせるとき」とありますので、新たに危険又は有害な業務につかせるときに特別教育を受講する必要があります。

労働省令第１５２号労働安全衛生規則第３６条第４項で定められています。
内容をまとめると下表のとおりです。

（＊１）対地電圧が５０ボルト以下であるもの及び電信用のもの、電話用のもの等で感電による危害の生ずるおそれのないものを除く。

厚生労働省告示第188号の安全衛生特別教育規定第５条で定められています。
内容をまとめると下表のとおりです。

（＊1）高圧活線近作業で「接近すること」とは、頭上距離が３０cm以内又は躯側距離若しくは足下距離が６０cm以内に接近することをいう。（労働安全衛生規則第３４２条）
（＊2）充電電路の操作の業務のみを行う者は１時間以上

厚生労働省告示第１８８号の安全衛生特別教育規定第6条で定められています。
内容をまとめると下表のとおりです。

（＊1）開閉器の操作の業務のみを行う者は1時間以上

学科教育が７時間以上かつ実技教育が7時間以上の場合に2日コースとなります。
1日コースについては、次の2コースとなります。
1）低圧電気取扱者安全衛生特別教育講習会 学科+実技1時間（開閉器操作のみの業務）
開閉器操作のみの業務を行う方は実技教育が1時間以上の1日コースとなります。
2）低圧電気取扱者安全衛生特別教育講習会 実技教育のみ7時間
学科のみ又は学科＋実技1時間の特別教育を修了した方で、充電電路において点検・測定が主な業務とする方は1日コースとなります。

当協会では、全科目を受講された場合に修了証を発行いたします。
なお、途中からの入退出の場合は発行いたしません。

労働安全衛生規則第３８条（特別教育の記録の保存）で「事業者は、特別教育を行ったときは、当該教育の受講者、科目等の記録を作成して、これを３年間保存しておかなければならない。」と定められています。 また、修了証の携帯は求められていません。

会社が異なれば、再度、会社の業務に添った内容の特別教育を行う必要があります。（Q1の回答を参照）。ただし、労働安全衛生規則第37条で「事業者は法第５９条第３項」の特別教育の科目の全部又は一部について十分な知識及び技能を有していると認められる労働者については、当該科目についての特別教育を省略することができる」と定められています。
なお、労働安全衛生法第１１９条第1項には、「労働安全衛生法第５９条第３項」の規定に違反した者は、６カ月以下の懲役又は５０万円以下の罰金に処するとなっていますので、この内容を拡大解釈して特別教育を受講する必要はないと判断を下した場合の事業者の責任は重大です。

科目及び範囲等が異なりますので別々に受講する必要があります。

特別教育は労働者が当該業務に初めて従事する時の安全衛生教育ですので、再講習はありません。
ただし、労働基準局長名で発した通達（下記PDF参照）には、事業者は、労働者に対して特別教育を受講させた後は定期（おおむね５年ごと）又は、取り扱う設備等が新たなものに変わった時などには随時、当該業務に関連する労働災害の動向、技術革新の進展等に対応した事項について教育を行うことを推奨しています。

pdf基発1012第1号 平成28年10月12日（安全衛生教育及び研修の推進について）

労働安全衛生法第59条では労働者を雇い入れたときの教育について記載されており、3項を要約しますと次のようになっています。
「事業者は、危険又は有害な業務で、労働省令に定めるものに労働者をつかせるときは、労働省令で定めるところにより、当該業務に関する安全又は衛生のための特別の教育を行なわなければならない」
そして、労働安全衛生規則第36条では特別教育を必要とする業務とし、4項で｢高圧もしくは特別高圧の充電路もしくは当該充電電路の支持物の敷設、点検、修理もしくは操作の業務、低圧の充電電路の敷設もしくは修理の業務又は配電盤室、変電室等区画された場所に設置する低圧の電路のうち充電部分が露出している開閉器の操作の業務｣を行う者に特別の教育を行なわなければならないとなっています。

第一種電気工事士の業務も第36条に抵触しますし、第一種電気工事士以外の方でも36条の業務をされる方は、特別教育が必要となります。